Különóra

Matematika

Miért utolérhetetlen a teknős – matematikai paradoxonok

Már a matematika hajnalán ismertek voltak olyan állítások, amelyeket, ha józan ésszel végig gondolunk ellentmondásosnak találunk. Ezeket az állításokat nevezzük paradoxonnak. 

A legismertebb paradoxonokat az ókori görög Zénon jegyezte le. Az ő paradoxonjai közül a leghíresebb talán Akhilleusz és a teknős példája.

A történet így szól: képzeljük el Akhilleuszt, a leggyorsabb görögöt, aki kihívta versenyezni a teknősbékát. Akhilleusz nagyvonalú volt és adott a teknősbékának 100 év előnyt. Amikor Akhilleusz beszállt a versenybe, egy pillanat alatt ott termett, ahol a teknősbéka kezdett. Ám mire beérte a teknősbékát, az egy picivel már tovább haladt és még mindig vezetett. Akármilyen gyorsan is ér Akhilleusz oda, ahol a teknős egy pillanattal korábban volt, amaz mindig egy kicsit előrébb lesz. Zénon szerint tehát Akhilleusz soha sem előzheti meg vagy érheti utol a teknőst, mivel adott időegységben Akhilleusz mindig csak a teknős előző kiindulópontjába érkezik meg, míg a teknős onnan, ha keveset is, de tovább megy.

Zénon példáját már az ókorban is többen megkérdőjelezték. Ugyanis, a végtelen sok számhoz vagy végtelen sok apró időszelethez végtelen ideig kellene az összeadást folytatni, így soha nem érhetnénk célba. Csakhogy a „végtelenhez” nem lehet hozzáadni, mivel a végtelen minden létező lehetőséget magában foglal, így ahhoz nem lehet hozzáadni vagy abból elvonni.

Vannak más paradoxonok is. A születésnap-paradoxon igazából nemparadoxon, ám teljesen ellentmond a saját józan gondolkodásunknak. Ugyanis, a valószínűség számítás szerint, ha 23 ember tartózkodik egy szobában, akkor pontosan 50 százalék az esélye, hogy 2 embernek éppen egy napon van a születésnapja. 53 ember esetén ez a szám már 99 százalék. Józan ésszel végig gondolva ez hihetetlen, hiszen egy év 365 napból áll, ami elég sok lehetőség a születésnapok szempontjából. Ám amennyiben elvégezzük a matematikai valószínűségszámítást mégis erre az eredményre jutunk.