Különóra


Matematika

Mi az a Benford-törvény?

Frank Benford fizikus és villamosmérnök érdekes jelenséget figyelt meg: rájött, hogy egy adott többjegyű számhalmazból nagyobb valószínűség szerint választunk ki alacsonyabb számjeggyel kezdődő számot, mint magasabb számjeggyel kezdődőt. Bonyolultnak tűnik? Mindjárt magyarázzuk!

A Benford-törvény nem az emberek pszichológiai választásaira mutat rá – egyszerűen számjelölő rendszereink nyelvtani szerkezetének következménye, mégis érdekes megfigyelni, mennyire valós és kiszámítható. Frank Benford észrevette, hogy egy egyetem könyvtárában a logaritmus-táblázatok első oldalai erősebben elhasználódtak, mint az utolsók. Ez azt jelenti, hogy a hallgatók és az oktatók is az alacsonyabb számmal kezdődő táblázatokat használták többet. Ez a jelenség igaz minden másfajta számhalmazra is.

Annak, hogy a kiválasztott szám 1-essel kezdődjön, 31 százalék az esélye. Ugyanígy kettessel kezdődőnek 19 százalék, hármassal kezdődőnek pedig 12 százalék, és így tovább. A gyakoriságot így adhatjuk meg:

  • 1   30,1%
  • 2   17,6%
  • 3   12,5%
  • 4    9,7%
  • 5    7,9%
  • 6    6,7%
  • 7    5,8%
  • 8    5,1%
  • 9    4,6%

Ahogyan nőnek az első számjegyek, egyre valószínűtlenebb, hogy valaki azokat a számokat fogja választani. A jelenséget egyébként nem Benford, hanem Simon Newcomb matematikus és csillagász vette észre először még 1881-ben. Benford 1938-ban fedezte fel újra.

Nem minden számra érvényes egyébként Benford törvénye: a lottószámokra egyáltalán nem, mert azok egyenletesen oszlanak meg 1 és 90 között, vagy az emberek centiben mért magasságára sem, mert nyilvánvaló, hogy alig akad 2 méternél magasabb ember a világon – így a legtöbbünk magassága egyessel kezdődik.

Érdekesség, hogy aki adatokat szeretne hamisítani, az gyakran belebukik a dologba, méghozzá a Benford-törvény miatt – ilyenkor általában arra törekszik ugyanis az ember, hogy minél randomabb számokat találjon ki, és egyenletesen oszlassa őket a számsorban. A Benford-törvény alapján így túl sok 6-ossal kezdődő, és túl kevés 1-essel kezdődő számot ad meg általában, ami lebuktathatja a csalót.