Különóra


Matematika

Ismered a születésnap-paradoxont?

Egy matematikai valószínűségszámítási paradoxon kimondja, hogy ha 23 ember egy szobában tartózkodik, 50% a valószínűsége, hogy két embernek egy napra esik a születésnapja – de mi ennek az oka?

A születésnap-paradoxon valójában csak a köznyelvben szerepel paradoxonként, matematikailag nem lehet rá azt mondani, hogy ellentmondás volna. Igazából azért nevezik így, mert ellent mond a „józan észnek”, vagyis igencsak meglepő eredményeket hoz, ha utánaszámolunk a valószínűségeknek.

Ha biztosra szeretnél menni, hogy egy csapat ember közül kettőnek tuti ugyanakkor legyen a születésnapja, akkor (persze csak elméletben) 367 delikvenst kellene összegyűjtened. A négyévente jelentkező februári szökőnappal együtt ugyanis 366 napos egy év, így ha pont eggyel több embered van, akkor annak már biztosan ugyanakkor van a születésnapja, mint a másik 366-nak (még abban a valószínűtlen esetben is, ha ebből a rengeteg kísérleti alanyból senkinek nem esik egy napra).

A valószínűségszámítás szabályai szerint azonban arra, hogy 50% esélyed legyen ugyanerre, már elég 23 embert összecsődíteni. Ez azért igazán furcsa, mert a 23 a 366-nak még a 10%-át sem adja ki ( Ennél is meglepőbb, hogy ha 99,9%-ot szeretnénk elérni, akkor bőven elég, ha 70 jelentkezőt gyűjtünk össze.

Ez a számítás azonban csak akkor működik, ha feltételezzük, hogy az év minden napjára ugyanolyan mennyiségű születésnap esik, tehát nincs több nyári gyerek, mint téli, és így tovább.

Ismered a születésnap-paradoxont?

Forrás: Flickr / Felix

Azért olyan nehéz felismernünk a születésnap-paradoxon logikáját, mert nem lineáris, hanem exponenciális összefüggéseket kell átlátnunk hozzá. Hiába növekszik lassabban a csoport létszáma, a százalékos valószínűség, hogy lesznek közöttük, akik egy napon születtek, sokkal gyorsabban nő ennél.

23 ember esetén 253 olyan születésnappárt vizsgálhatunk, amelyek között már lehet mindkettő ugyanaz a dátum, azaz ugyanazon a napon születhettek. Ezután nem csak a páros, de a hármas és négyes egyezéseket is vizsgálni kell.

A megoldás egyébként nem olyan bonyolult, mint amilyennek hangzik. Tegyük fel, hogy az első vizsgált ember az év egyik napját „elfoglalja”. Annak a valószínűsége, hogy a 23 fős csoport következő tagja másik napon született, az 365/366. Együtt már két lehetséges napot stoppoltak le, így a harmadiknak már csak 364 nap közül van lehetősége „választani”. Ahhoz, hogy megkapjuk, mekkora a valószínűsége, hogy ezeknek az embereknek nem egy napon van a születésnapjuk, elég összeszoroznunk a műveleteket egymással, azaz a 365/366-ot a 364/366-tal, és így tovább, egészen a 23. emberig (akinek az osztása 344/366 lesz). Sokkal könnyebb megadni annak a valószínűségét, hogy nem egy napon születtek a választott emberek, mint azt, hogy hány százalék az esélye, hogy egy napra esik a születésnapjuk – de az elsőből már igazán könnyű kiszámítani a másodikat is.